sinx是收敛的。sinx展开后是函数项级数，准确的说是幂级数，只有常数项级数可以直接谈收敛或者发散。sinx展开成x的幂级数后它的收敛半径是+∞，所以sinx在整条数轴上都是收敛的。可以把sinx展开成x的幂级数，这时把x当作常数，发现这是交错级数，用绝对收敛的方法的话得到正项级数，这时用比值审敛法（达朗贝尔法）计算得到比值的极限为0，0小于1，所以该级数是收敛的。

　　相关概念：

　　对于任意的X0∈[a，b]，由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X*，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X*。

　　若存在X*在某邻域R={X||X-X*小于δ}，对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk+1=φ（Xk）在R上收敛于X*。

　　一般的级数u1+u2+...+un+...它的各项为任意级数。如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣un∣收敛，则称级数Σun绝对收敛。如果级数Σun收敛，而Σ∣un∣发散，则称级数Σun条件收敛。

　　正弦函数：

　　对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sinx，叫做正弦函数。

　　单位圆定义

　　图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于sinθ。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了sinθ=y/1。

　　单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。即sinθ=AB，与y轴正方向一样时正，否则为负对于大于2π或小于0的角度，简单的继续绕单位圆旋转。